Question

（2009?湘潭模擬）一圓環A套在一均勻圓木棒B上，A的高度相對B的長度來說可以忽略不計．A和B的質量都等于m，A和B之間的滑動摩擦力為f（f＜mg）．開始時B豎直放置，下端離地面高度為h，A在B的頂端，如圖所示．讓它們由靜止開始自由下落，當木棒與地面相碰后，木棒以豎直向上的速度反向運動，并且碰撞前后的速度大小相等．設碰撞時間很短，不考慮空氣阻力，問：在B再次著地前，要使A不脫離B，B至少應該多長？

Answer 1

分析：A和B第一次下降時，都是做自由落體運動，當木棒與地面相碰后，木棒開始向上做勻減速運動，圓環A在摩擦力的作用下，向下做加速運動，分析木棒的運動情況可知，木棒的速度小于圓環A的速度，木棒受到的摩擦力始終向下，由牛頓第二定律求出加速度，再由位移公式可以計算出木棒的長度．

解答：解：釋放后A和B相對靜止一起做自由落體運動，設落地時的速度為V₁，
由V₁²=2gh可得，
B著地前瞬間的速度為 v1=

2gh

，
B與地面碰撞后，A繼續向下做勻加速運動，B豎直向上做勻減速運動．它們加速度的大小分別為：
  aA=

mg-f

m

和 aB=

mg+f

m

     
B豎直向上做勻減速運動的時間為t₁
由V=V₀+at₁ 得  t₁=

v1

aB

，
B再次向下運動時，由于B的速度小于A的速度，所以B受得摩擦力仍然向下，加速度于豎直向上運動的加速度相同，
所以再次回到地面時的時間與上升的時間相同，
所以B與地面碰撞后向上運動到再次落回地面所需時間為   t=

2v1

aB

在此時間內A的位移   x=v1t+

1

2

aAt2   
要在B再次著地前A不脫離B，木棒長度L必須滿足條件 L≥x 
聯立以上各式，解得  L≥

8m2g2h

(mg+f)2

答：B的長度至少應該是

8m2g2h

(mg+f)2

．

點評：題目涉及到的運動過程較多，要根據物體的受力的情況，逐個分析物體的運動過程，在計算中需要注意的是木棒在上升和再次下降的過程中，它的加速度是一樣的，所以運動的時間也就是相同的．