Question

(本小題滿分12分)
古代印度婆羅門教寺廟內的僧侶們曾經玩過一種被稱為“河內寶塔問題”的游戲，其玩法如下：如圖，設有n（）個圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現要將套在A柱上的盤換到C柱上，要求每次只能搬動一個，而且任何時候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

現用a_n表示將n個圓盤全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動的次數，回答下列問題：
(1)   寫出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
(2)   記，求和（）；
（其中表示所有的積的和）
(3)   證明：．

Answer 1

（1）（2）（3）略

(1)
事實上，要將個圓盤全部轉移到C柱上，只需先將上面個圓盤轉移到B柱上，需要次轉移，然后將最大的那個圓盤轉移到C柱上，需要一次轉移，再將柱上的個圓盤轉移到C柱上，需要次轉移，所以有
則，所以
(2)
則

（）
(3) 令，則當時


又，所以對一切有：


另方面恒成立，所以對一切有

綜上所述有：