【題目】設(shè)雙曲線
的左頂點(diǎn)為D，且以點(diǎn)D為圓心的圓
與雙曲線C分別相交于點(diǎn)A、B，如圖所示.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求
的最小值，并求出此時圓D的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)P為雙曲線C上異于點(diǎn)A、B的任意一點(diǎn)，且直線PA、PB分別與x軸相交于點(diǎn)M、N，求證：
為定值（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）4.
【解析】
（1）由圓心為
，為雙曲線的左頂點(diǎn)，解得
，得到雙曲線C的方程.
（2）設(shè)
，利用數(shù)量積運(yùn)算得到
，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.
（3）設(shè)
，得到直線PA的方程為：
，令
，得
，同理
，然后代入
求解.
（1）因?yàn)閳A
的圓心為，且為左頂點(diǎn)，
所以，
所以雙曲線C的方程.
（2）設(shè)，
因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線上，
所以
，
所以
，
所以當(dāng)
，
取得最小值，
此時
，又點(diǎn)A在圓上，所以
，
所以圓D的方程.
（3）設(shè)，則直線PA的方程為：，
令，得，同理，
又點(diǎn)A，P在雙曲線上，
所以
，
所以
，
所以為定值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線
，經(jīng)過點(diǎn)
的直線
與該雙曲線交于
兩點(diǎn).
（1）若與
軸垂直，且
，求
的值；
（2）若
，且的橫坐標(biāo)之和為
，證明：
.
（3）設(shè)直線與
軸交于點(diǎn)
，求證：
為定值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】矩形
中，
，
，點(diǎn)
，
分別是
，
上的動點(diǎn)，將矩形沿
所在的直線進(jìn)行隨意翻折，在翻折過程中直線
與直線
所成角的范圍(包含初始狀態(tài))為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為評估
設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能，從該設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：
直徑/ | 78 | 79 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 93 | 合計 |
件數(shù) | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
經(jīng)計算，樣本的平均值
，標(biāo)準(zhǔn)差
，以頻率值作為概率的估計值.
（1）為評判一臺設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為
，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評判（
表示相應(yīng)事件的頻率）：
①
；②
；③
，評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設(shè)備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁.試判斷設(shè)備的性能等級.
（2）將直徑小于等于
的零件或直徑大于等于
的零件認(rèn)定為是“次品”，將直徑小于等于
的零件或直徑大于等于
的零件認(rèn)定為是“突變品”，從樣本的“次品”中隨意抽取2件零件，求“突變品”個數(shù)
的數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在等比數(shù)列
中，已知
設(shè)數(shù)列
的前n項(xiàng)和為
，且
（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；
（2）證明：數(shù)列
是等差數(shù)列；
（3）是否存在等差數(shù)列
，使得對任意
，都有
？若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
與直線
相切于點(diǎn)
，點(diǎn)
與關(guān)于
軸對稱．
（1）求拋物線
的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)
是軸上兩個不同的動點(diǎn)，且滿足
，直線
、
與拋物線的另一個交點(diǎn)分別為
，試判斷直線
與直線
的位置關(guān)系，并說明理由．如果相交，求出的交點(diǎn)的坐標(biāo)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.
(1)求f(x)的最小值m；
(2)若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿足a＋b＋c＝m，求證：
＋
＋
≥3.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知圓
，動圓
與圓
外切，且與直線
相切，該動圓圓心的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程
（2）過點(diǎn)的直線與拋物線相交于
兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)A的切線與
交于點(diǎn)N，求
面積的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知定義在R上的函數(shù)
在[1，2]上有且僅有3個零點(diǎn)，其圖象關(guān)于點(diǎn)
和直線x
對稱，給出下列結(jié)論：
①
；
②函數(shù)f（x）在[0，1]上有且僅有3個極值點(diǎn)；
③函數(shù)f（x）在
上單調(diào)遞增；
④函數(shù)f（x）的最小正周期是2．
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A.②③B.①④C.②③④D.①②
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