Question

【題目】已知拋物線與直線相切于點，點與關于軸對稱．

（1）求拋物線的方程及點的坐標；

（2）設是軸上兩個不同的動點，且滿足，直線、與拋物線的另一個交點分別為，試判斷直線與直線的位置關系，并說明理由．如果相交，求出的交點的坐標．

Answer 1

【答案】（1），；（2）∥，詳見解析．

【解析】

（1）聯立方程組，整理得，根據，求得，得到拋物線的方程，進而得到點的坐標，從而求得點的坐標．

（2）設，直線的方程為，得出的方程為，

代入，求得，進而得到，代入拋物線的方程求得的坐標，利用斜率公式，即可得到結論.

（1）由題意，拋物線與直線相切于點，

聯立方程組，消去，得，

所以，解得或，

又，解得，所以拋物線的方程為，

由，得，所以切點為，

因為點與關于軸對稱，點的坐標．

（2）直線，理由如下：

依題意，直線的斜率不為，

設，直線的方程為，

由（1）知點，則，所以直線的方程為，

代入，解得(舍)或，所以，

因為，所以關于對稱，得，

同理得的方程為，代入，

得，，

直線的斜率為，因此．