Question

設函數f（x）的定義域為D，若存在非零實數h使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+h⊆D，且f（x+h）≥f（x），則稱f（x）為M上的“h階高調函數”．給出如下結論：
①若函數f（x）在R上單調遞增，則存在非零實數h使f（x）為R上的“h階高調函數”；
②若函數f（x）為R上的“h階高調函數”，則f（x）在R上單調遞增；
③若函數f（x）=x²為區間[-1，+∞）上的“h階高誣蔑財函數”，則h≥2；
④若函數f（x）在R上的奇函數，且x≥0時，f（x）=|x-1|-1，則f（x）只能是R上的“4階高調函數”．
其中正確結論的序號為（　　）

A、①③

B、①④

C、②③

D、②④

Answer 1

分析：因為是判斷命題的真假，所以只要能從正面推出其成立，即可說其為真命題；只要能舉出反例，即可說明其為假命題，用這中方法對四個命題一一驗證即可求出結果．

解答：解：對于①，因為函數f（x）在R上單調遞增，即自變量越大函數值越大，故滿足新定義．即存在非零實數h使f（x）為R上的“h階高調函數”；①為真命題；
對于②，舉反例如圖，函數f（x）的定義域為[-1，3]，M=[-1，1]，滿足新定義．即存在非零實數2使f（x）為R上的“h階高調函數”，f（x）在R上不單調遞增；②為假命題；
對于③，因為對于任意x∈M（M⊆D），有x+h⊆D，且f（x+h）≥f（x），即f（x+h）≥f（1）⇒x+h≥1⇒h≥1-x⇒h≥2，③為真命題；
對于④，其圖象如圖，由圖得，不存在實數h讓其滿足定義，即④為假命題．
故真命題只有  ①③．
故選   A．

點評：本題的關鍵在于對定義的理解，只要定義理解透徹，問題就解決了，這也是這一類型題目解決的關鍵．