Question

函數f（x）的定義域為D，若對于任意x₁，x₂∈D，當x₁＜x₂時，都有f（x₁）≤f（x₂），則稱函數f（x）在D上為非減函數．設函數f（x）為定義在[0，1]上的非減函數，且滿足以下三個條件：①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1，x∈[0，1]； ③當x∈[0，

1

4

]時，f（x）≥2x恒成立．則f(

3

7

)+f(

5

9

)=

1

．

Answer 1

分析：由當x∈[0，

1

4

]時，f（x）≥2x恒成立．可得f(

1

4

)≥2×

1

4

=

1

2

．已知x∈[0，1]，f（1-x）+f（x）=1恒成立，可得f(1-

1

4

)+f(

1

4

)=1，于是f(

1

4

)=1-f(

3

4

)≥

1

2

，可得f(

3

4

)≤

1

2

．利用函數f（x）的非減性質

1

2

≤f(

1

4

)≤f(

3

4

)≤

1

2

，可得f(

1

4

)=f(

3

4

)=

1

2

．再由

1

4

＜

3

7

＜

5

9

＜

3

4

．可得

1

2

=f(

1

4

)≤f(

3

7

)≤f(

5

9

)≤f(

3

4

)=

1

2

．于是f(

3

7

)=f(

5

9

)=

1

2

即可．

解答：解：當x∈[0，

1

4

]時，f（x）≥2x恒成立．∴f(

1

4

)≥2×

1

4

=

1

2

．
∵x∈[0，1]，f（1-x）+f（x）=1恒成立，∴f(1-

1

4

)+f(

1

4

)=1，∴f(

1

4

)=1-f(

3

4

)≥

1

2

，∴f(

3

4

)≤

1

2

．
∵

1

4

＜

3

4

，∴

1

2

≤f(

1

4

)≤f(

3

4

)≤

1

2

，解得f(

1

4

)=f(

3

4

)=

1

2

．
∵

1

4

＜

3

7

＜

5

9

＜

3

4

．
∴

1

2

=f(

1

4

)≤f(

3

7

)≤f(

5

9

)≤f(

3

4

)=

1

2

．
∴f(

3

7

)=f(

5

9

)=

1

2

．
∴f(

3

7

)+f(

5

9

)=

1

2

+

1

2

=1．
故答案為1．

點評：本題考查了如何充分利用新定義的條件和推理能力，屬于難題．