Question

設函數f（x）的定義在R上的偶函數，且是以4為周期的周期函數，當x∈[0，2]時，f（x）=2x-cosx，則a=f（-

3

2

）與b=f（

15

2

）的大小關系為

a＞b

．

Answer 1

分析：根據函數f（x）周期為4的偶函數再利用函數的周期性及奇偶性，我們易在區間[2，4]上找到與f（-

3

2

），f（

15

2

）兩個函數值相同的自變量，再根據f（x）的區間[2，4]上是增函數，即可得到函數值f（-

3

2

），f（

15

2

）的大小關系．

解答：解：∵x∈[0，2]時，f（x）=2x-cosx
∴f^′（x）=2+sinx＞0在x∈[0，2]上恒成立
∴f（x）=2x-cosx再x∈[0，2]上單調遞增
∵函數f（x）的定義在R上的偶函數，且是以4為周期的周期函數
∴f（x）=2x-cosx在x∈[-2，0]上單調遞減
∵f（x+4）=f（x）
∴f（x）在x∈[2，4]
∵f（-

3

2

）=f（-

3

2

+4）=f（

5

2

），f（

15

2

）=f（

15

2

-4）=f（

7

2

）且2＜

5

2

＜

7

2

4
∴f（

5

2

）＞f（

7

2

）即f（-

3

2

）＞f（

15

2

）
故答案為a＞b

點評：本題主要考查的是函數奇偶性與單調性的綜合應用，屬常考題，較難．解題的關鍵是利用函數的周期性及奇偶性在區間[2，4]上找到與f（-

3

2

），f（

15

2

）函數值相同的自變量，但f（x）的區間[2，4]上單調性的判斷是解答本題的重中之重！