Question

若0＜a＜1，則函數y=log_a[1-（

1

2

）^x]在定義域上是（　　）

• A、增函數且y＞0
• B、增函數且y＜0
• C、減函數且y＞0
• D、減函數且y＜0

Answer 1

分析：本題考查的知識點是指數函數的單調性、對數函數的單調性及復合函數單調性，我們要先求出函數的定義域，然后從內到外逐步分析，（

1

2

）^x、[1-（

1

2

）^x]的單調性和取值范圍，再結合0＜a＜1及復合函數“同增異減”的原則，判斷log_a[1-（

1

2

）^x]的單調性及函數值的取值范圍．

解答：解：要使函數y=log_a[1-（

1

2

）^x]的解析式有意義
則1-（

1

2

）^x＞0
即（

1

2

）^x＜1
即x＞0
當x∈（0，+∞）時，（

1

2

）^x為減函數，且0＜（

1

2

）^x＜1
[1-（

1

2

）^x]為增函數，且0＜[1-（

1

2

）^x]＜1
∵0＜a＜1，故
y=log_a[1-（

1

2

）^x]為減函數，且y＞0
故選C

點評：函數y=a^x和函數y=log_ax，在底數a＞1時，指數函數和對數函數在其定義域上均為增函數，當底數0＜a＜1時，指數函數和對數函數在其定義域上均為減函數，而f（-x）與f（x）的圖象關于Y軸對稱，其單調性相反，故函數y=a^-x和函數y=log_a（-x），在底數a＞1時，指數函數和對數函數在其定義域上均為減函數，當底數0＜a＜1時，指數函數和對數函數在其定義域上均為增函數．