Question

設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足且構(gòu)成等比數(shù)列.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅲ）證明：對一切正整數(shù)，有.

Answer 1

（Ⅰ）詳見試題分析；（Ⅱ）數(shù)列的通項公式為；（Ⅲ）詳見試題分析．

解析試題分析：（Ⅰ）由已知條件，只要令，即可證得結(jié)論；（Ⅱ）由已知條件，列出，與已知式作差，得，分解因式，并注意到，可得，從而數(shù)列是等差數(shù)列，再結(jié)合已知條件：構(gòu)成等比數(shù)列，列出關(guān)于首項的方程，解這個方程，即可得首項的值，最終可以求得數(shù)列的通項公式；（Ⅲ）在（Ⅱ）的基礎(chǔ)上，可得的表達式：，根據(jù)的結(jié)構(gòu)特征，可以利用裂項相消法求的和，最終證得結(jié)論．
試題解析：（Ⅰ）當時，，       2分
（Ⅱ）當時，，，，，當時，是公差的等差數(shù)列.    5分
構(gòu)成等比數(shù)列，，，解得，      6分
由（Ⅰ）可知，． 是首項，公差的等差數(shù)列.                                         7分
數(shù)列的通項公式為.                          8分
（Ⅲ）         9分
        12分
考點：1．數(shù)列的前項和；2．數(shù)列通項公式的求法；3．數(shù)列與不等式的綜合．