Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點．
（1）證明：AD⊥D₁F；
（2）證明：面AED⊥面A₁FD₁；
（3）設AA1=2，求三棱維E-AA1F的體積VE-AA1F．

Answer 1

分析：（1）由正方體的性質可得AD⊥面DC₁ ，故AD⊥D₁F．
（2）由AD⊥D₁F，AE⊥D₁F，證得D₁F⊥面AED，從而證得面AED⊥面A₁FD．
（3）取AB的中點G，三棱錐F-AA₁E的高FG=AA₁=2，由 VE-AA 1 F=VF-AA 1 E=

1

3

•FG•S△AA 1 E 求得結果．

解答：解：（1）證明：∵AC₁是正方體，∴AD⊥面DC₁ ，又D₁F?面DC₁，
∴AD⊥D₁F．
（2）證明：由（1）知AD⊥D₁F，由題意得 AE⊥D₁F，
又AD∩AE=A，∴D₁F⊥面AED，
又D₁F?面A₁FD₁，∴面AED⊥面A₁FD．
（3）取AB的中點G，連接GE、GD，∵體積VE-AA1

F

1

=VF-AA1E，又FG⊥面ABB₁A₁，
三棱錐F-AA₁E的高FG=AA₁=2，∴VE-AA 1 F=VF-AA 1 E=

1

3

•FG•S△AA 1 E=

1

3

×2×(

1

2

×2×2)=

4

3

．

點評：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求棱錐的體積，證明D₁F⊥面AED是解題的關鍵．