Question

設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(－∞,0)內單調遞增，f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1).求a的取值范圍，并在該范圍內求函數(shù)y=()的單調遞減區(qū)間.

Answer 1

函數(shù)y=()的單調遞減區(qū)間為［，3)

解析:

欲由f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1)求a的取值范圍，就要設法利用函數(shù)f(x)的單調性。

而函數(shù)y=()是一個復合函數(shù)，應該利用復合函數(shù)單調性的判定方法解決

設0<x₁<x₂,則－x₂<－x₁<0，∵f(x)在區(qū)間(－∞,0)內單調遞增，

∴f(－x₂)<f(－x₁),∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x₂)=f(x₂),f(－x₁)=f(x₁),

∴f(x₂)<f(x₁).∴f(x)在(0，+∞)內單調遞減.

由f(2a²+a+1)<f(3a²－2a+1)得：2a²+a+1>3a²－2a+1.解之，得0<a<3.

又a²－3a+1=(a－)²－.

∴函數(shù)y=()的單調減區(qū)間是

結合0<a<3,得函數(shù)y=()的單調遞減區(qū)間為［，3).

偶函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調性相反，而奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調性相同。