Question

對于任意實數x,符號[x]表示不超過x的最大整數,例如[-1.5]=-2,[2.5]=2,定義函數,則給出下列四個命題：①函數的定義域是R,值域為[0,1];②方程有無數個解；③函數是周期函數；④函數是增函數.其中正確的序號是 (   )

A．①③

B．②④

C．①④

D．②③

Answer 1

D

專題：新定義．
分析：要使解析式有意義，得出函數{x}的定義域為R，由周期函數的定義證明此函數為周期函數，使求出一個周期的上的值域，即為整個函數的值域，周期函數不是單調函數．
解答：解：∵函數{x}的定義域為R，又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，
∴函數{x}=x-[x]是周期為1的函數，∴③是正確的，
當0≤x＜1時，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函數{x}的值域為[0，1），∴①錯誤，
當x=時，{x}=，又∵函數{x}=x-[x]是周期為1的函數，∴x=+k時（k∈Z），{x}=，∴②是正確的，
∵函數{x}是周期為1的函數，∴函數{x}不是單調函數，∴④錯誤
故選D．
點評：此題是自定義一個函數，求函數的性質，一般研究函數從圖象入手，要找出準確的切入點，x∈R時，[x]∈Z，x-[x]∈[0，1）．