Question

已知長方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中點為原點建立如圖8所示的平面直角坐標系.
(Ⅰ)求以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過點P(0,2)的直線交(Ⅰ)中橢圓于M,N兩點,是否存在直線,使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.

Answer 1

（1）橢圓的標準方程是（2）存在過P(0,2)的直線:使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點.

(Ⅰ)由題意可得點A,B,C的坐標分別為.
設橢圓的標準方程是.


.
橢圓的標準方程是
(Ⅱ)由題意直線的斜率存在,可設直線的方程為.
設M,N兩點的坐標分別為
聯立方程: 
消去整理得, 
有
若以MN為直徑的圓恰好過原點,則,所以,
所以,,
即
所以,
即
得
所以直線的方程為,或.
所以存在過P(0,2)的直線:使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點.