Question

已知函數y=f（x）的定義域為R，且對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且當x＞0時，f（x）＜0恒成立．
（1）證明函數y=f（x）是R上的單調性；
（2）討論函數y=f（x）的奇偶性；
（3）若f（x²-2）+f（x）＜0，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，利用f（a+b）=f（a）+f（b）可求得f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂），又當x＞0時，f（x）＜0，從而得f（x₁）＜f（x₂），可證明函數y=f（x）在R上單調遞減；
（2）由f（a+b）=f（a）+f（b）⇒f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，從而可知函數y=f（x）的奇偶性；
（3）（方法一）由f（x²-2）+f（x）＜0得f（x²-2）＜-f（x）=f（-x），利用y=f（x）在R上單調遞減即可求得x的取值范圍；
（方法二））由f（x²-2）+f（x）＜0且f（0）=0得f（x²-2+x）＜f（0），同理可得x的取值范圍．

解答：（1）證明：設x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，而f（a+b）=f（a）+f（b）
∴f（x₁）-f（x₂）=f（（x₁-x₂）+x₂）-f（x₂）
=f（x₁-x₂）+f（x₂）-f（x₂）
=f（x₁-x₂），
又當x＞0時，f（x）＜0恒成立，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數y=f（x）是R上的減函數；
（2）由f（a+b）=f（a）+f（b），
得f（x-x）=f（x）+f（-x），
即f（x）+f（-x）=f（0），而f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
即函數y=f（x）是奇函數．
（3）（方法一）由f（x²-2）+f（x）＜0，
得f（x²-2）＜-f（x），
又y=f（x）是奇函數，
即f（x²-2）＜f（-x），
又y=f（x）在R上是減函數，
∴x²-2＞-x解得x＞1或x＜-2．
（方法二））由f（x²-2）+f（x）＜0且f（0）=0，
得f（x²-2+x）＜f（0），
又y=f（x）在R上是減函數，
∴x²-2+x＞0，
解得x＞1或x＜-2．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數單調性的判斷與證明，屬于中檔題．