Question

（2011•遂寧二模）已知向量a=(sinA，cosA)，b=(

3

-1)，a•b=1，且A為銳角．
（I）求角A的大小；
（Ⅱ）求函數f(x)=cos2x+4cosA•sinx，x∈[

π

6

，

7π

6

]的值域．

Answer 1

分析：（I）直接根據向量的數量積計算公式結合輔助角公式即可求角A的大小；
（Ⅱ）先根據二倍角公式對函數進行整理，再結合二次函數在閉區間上的最值討論即可得到函數的值域．

解答：解：（I）由題得：

a

•

b

=

3

sinA-cosA=1⇒2sin（A-

π

6

）=1⇒sin（A-

π

6

）=

1

2

．
由A為銳角得：A-

π

6

=

π

6

，所以A=

π

3

．
（Ⅱ）由（I）得：cosA=

1

2

．
所以f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2（sinx-

1

2

）²+

3

2

．
因為x∈[

π

6

，

7π

6

]，所以sinx∈[-

1

2

，1]．
因此當sinx=

1

2

時，f（x）有最大值

3

2

；
當sinx=-

1

2

時，f（x）有最小值-

1

2

．
所以：函數f（x）的值域為：[-

1

2

，

3

2

]．

點評：本題主要考查平面向量數量積的運算以及二次函數在閉區間上的最值求法．求二次函數在閉區間上的最值問題時，一定要判斷對稱軸和區間的位置關系，避免出錯．