Question

如圖，已知兩個同心圓的半徑分別為1、2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是大圓的割線，它與小圓距P最近的公共點是M，則

OM

•

OQ

的取值范圍是

[-2，1]

．

Answer 1

分析：設出M，Q的坐標，求出

OM

•

OQ

，結合圖象，即可求得取值范圍．

解答：解：設M（cosα，sinα），Q（2cosβ，2sinβ），則

OM

•

OQ

=2cosαcosβ+2sinαsinβ=2cos（α-β）
如圖所示，α-β=∠QOx，則

當PQ與x重合時，（

OM

•

OQ

）_min=2cosπ=-2；
當PQ與小圓相切時，（

OM

•

OQ

）_max=2cos

π

3

=1，
∴

OM

•

OQ

的取值范圍是[-2，1]
故答案為：[-2，1]

點評：本題考查向量的數量積，考查數形結合的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．