Question

已知函數y=f（x）滿足f（a-tanθ）=cotθ-1，（其中，a、θ∈R均為常數）
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）利用函數y=f（x）構造一個數列{x_n}，方法如下：
對于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…
在上述構造過程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定義域中，構造數列的過程繼續下去；如果x_i不在定義域中，則構造數列的過程停止．
①如果可以用上述方法構造出一個常數列{x_n}，求a的取值范圍；
②如果取定義域中的任一值作為x₁，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{x_n}，求a實數的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，可推導出y=f（x）=，（x≠a）．
（2）①根據題意，只需當x≠a時，方程f（x）=x有解，方程x²+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．將x=a代入方程左邊，得左邊為1，故方程不可能有解x=a．由由根的判別式，可得a的取值范圍是（-∞，3]∪[1，+∞）．
②根據題意，=a在R中無解，亦即當x≠a時，方程（1+a）x=a²+a-1無實數解．由此能夠導出a=-1．
解答：解：（1）令，則
①×②，并整理，得y=，
∴y=f（x）=，（x≠a）．（4分）
（2）①根據題意，只需當x≠a時，方程f（x）=x有解，
亦即方程x²+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．
將x=a代入方程左邊，得左邊為1，故方程不可能有解x=a．
由△=（1-a）²-4（1-a）≥0，得a≤-3或a≥1，
即實數a的取值范圍是（-∞，3]∪[1，+∞）．（9分）
②根據題意，=a在R中無解，
亦即當x≠a時，方程（1+a）x=a²+a-1無實數解．
由于x=a不是方程（1+a）x=a²+a-1的解，
所以對于任意x∈R，方程（1+a）x=a²+a-1無實數解，
∴a=-1即為所求a的值．（14分）
點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．