Question

數列{a_n}，{b_n}(n＝1，2，3…)由下列條件確定：①a₁＜0，b₁＞0；②當k≥2時，a_k與b_k滿足：當a_k－1＋b_k－1≥0時，a_k＝a_k－1，b_k＝；當a_k－1＋b_k－1＜0時，a_k＝，b_k＝b_k－1．

(Ⅰ)若a₁＝－1，b₁＝1，寫出a₂，a₃，a₄，并求數列{a_n}的通項公式；

(Ⅱ)在數列{b_n}中，若b₁＞b₂＞…b_s(s≥3，且s∈N^*)，試用a₁，b₁表示b_kk∈{1，2，…，s}；

(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下，設數列{c_n}(n∈N^*)滿足c₁＝，c_n≠0，c_n+1＝－(其中m為給定的不小于2的整數)，求證：當n≤m時，恒有c_n＜1．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：因為，所以，． 　　因為，所以，． 　　因為，所以，． 　　所以．2分 　　由此猜想，當時，，則，．3分 　　下面用數學歸納法證明： 　　①當時，已證成立． 　　②假設當(，且)猜想成立， 　　即，，． 　　當時，由，得，則，． 　　綜上所述，猜想成立． 　　所以． 　　故．6分 　　(Ⅱ)解：當時，假設，根據已知條件則有， 　　與矛盾，因此不成立，7分 　　所以有，從而有，所以． 　　當時，，， 　　所以；8分 　　當時，總有成立． 　　又， 　　所以數列()是首項為，公比為的等比數列，，， 　　又因為，所以．10分 　　(Ⅲ)證明：由題意得 　　． 　　因為，所以． 　　所以數列是單調遞增數列．11分 　　因此要證，只須證． 　　由，則＜，即．12分 　　因此． 　　所以． 　　故當，恒有．14分