Question

在數列{a_n}，{b_n}中，對任何正整數n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)•2n+1
（1）若數列{b_n}是首項為1和公比為2的等比數列，求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若數列{a_n}是首項為a₁，公差為d等差數列（a₁•d≠0），求數列{b_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，判斷數列{b_n}是否為等比數列？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）仿寫等式，兩式相減得到a_nb_n⁼n•2^n-1，利用等比數列的通項公式，即可求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）直接求出等差數列的通項公式，利用（1）推出的關系式，求出數列{b_n}的通項公式即可．
（3）直接利用a_nb_n的關系式，轉化為等差數列的關系式，推出數列b_n的關系，利用等比數列等比中項判斷即可．

解答：解：（1）因為a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1．
所以a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2^n-1+1．
兩式相減a_nb_n=（2n-2-n+2）•2^n-1₌n•2^n-1
因為{b_n}數列是首項為1，公比為2的等比數列，則b_n=2^n-1
所以a_n=n；
（2）數列{a_n}是首項為a₁，公差為d等差數列（a₁•d≠0），a_n=a₁+（n-1）d，
由（1）可知a_nb_n=n•2^n-1，所以b_n=

n•2n-1

a1+(n-)d

．
數列{b_n}的通項公式：b_n=

n•2n-1

a1+(n-)d

．
（3）{a_n}是等差數列 a_nb_n=（2n-2-n+2）•2^n-1=n•2^n-1
所以 a_n=

n•2n-1

bn

，
a_n-1=

(n-1)•2n-2

bn-1

，
a_n-2=

(n-2)•2n-3

bn-2

，
{a_n}是等差數列 2a_n-1=a_n-2+a_n
即2×

(n-1)•2n-2

bn-1

=

n•2n-1

bn

+

(n-2)•2n-3

bn-2

，即

4(n-1)

bn-1

=

4n

bn

+

n-2

bn-2

若{b_n}是等比數列，則b_n-1²=b_n-2•b_n，上式不滿足b_n-1²=b_n-2•b_n，所以不成立
所以數列{b_n}不是等比數列．

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合應用，數列通項公式的求法，等差數列與等比數列的判定，考查分析問題解決問題的能力．