Question

設集合W由滿足下列兩個條件的數列{a_n}構成：①

an+an+2

2

＜an+1；②存在實數M，使a_n≤M．（n為正整數）
（Ⅰ）在只有5項的有限數列{a_n}、{b_n}中，其中a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5；b₁=1，b₂=4，b₃=5，b₄=4，b₅=1；試判斷數列{a_n}、{b_n}是否為集合W中的元素；
（Ⅱ）設{c_n}是各項為正數的等比數列，S_n是其前n項和，c3=

1

4

，S3=

7

4

，試證明{S_n}∈W，并寫出M的取值范圍；
（Ⅲ）設數列{d_n}∈W，對于滿足條件的M的最小值M₀，都有d_n≠M₀（n∈N^*）．求證：數列{d_n}單調遞增．

Answer 1

分析：（Ⅰ）檢驗這2個數列中的各項是否滿足①②2個條件．
（Ⅱ）{c_n}是各項為正數的等比數列，求出公比和首項，得到通項公式，再計算其前n項和S_n，
判斷S_n是否滿足①②2個條件．
（Ⅲ）用反證法證明，若數列{d_n}非單調遞增，推出與題設矛盾，所以假設不對，命題得到證明．

解答：解：（Ⅰ）對于數列{a_n}，取

a1+a3

2

=2=a₂，顯然不滿足集合W的條件①，故{a_n}不是集合W中的元素．（2分）
對于數列{b_n}，當n?{1，2，3，4，5}時，
不僅有

b1+b3

2

=3＜b2，

b2+b4

2

=4＜b3，

b3+b5

2

=3＜b4，
而且有b_n≤5，顯然滿足集合W的條件①②，故{b_n}是集合W中的元素．（4分）
（Ⅱ）∵{c_n}是各項為正數的等比數列，S_n是其前n項和，c3=

1

4

，S3=

7

4

，設其公比為q＞0，
∴

c3

q2

+

c3

q

+c3=

7

4

，整理得，6q²-q-1=0
∴q=

1

2

，∴c1=1，cn=

1

2n-1

Sn=2-

1

2n-1

（7分）
對于“n∈N^*，有

Sn+Sn+2

2

=2-

1

2n

-

1

2n+2

＜2-

1

2n

=Sn+1，且S_n＜2，
故{S_n}∈W，且M∈[2，+∞）．（9分）
（Ⅲ）證明：（反證）若數列{d_n}非單調遞增，則一定存在正整數k，使d_k≥d_k+1 成立，
當n=m+1時，由

dm+dm+2

2

＜dm+1得  d_m+2＜2d_m+1-d_m，
而d_m+1-d_m+2＞d_m+1-（2d_m+1-d_m）=d_m-d_m+1≥0，所以d_m+1＞d_m+2 ．
顯然在d₁，d₂，…，d_k這k項中一定存在一個最大值，不妨記為dn0，
所以dn0≥dn(n∈N*)，從而dn0=M0．這與題設d_n≠M₀（n∈N^*）相矛盾．
所以假設不成立，故命題得證．（14分）

點評：本題考查數列的函數特性，等比數列的性質，等比數列的前n項和公式，用反證法證明數學命題，屬于中檔題．