Question

20、四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，又PA=PD，E是BC的中點．
（1）求證：AD⊥PE；
（2）在PA上是否存在一點M，使ME∥平面PDC？

Answer 1

分析：（1）取AD的中點O，連接OP，OE，由PA=PD，結合等腰三角形“三線合一”的性質，可得OP⊥AD，又由矩形中位線的性質，可得OE⊥AD，進而根據線面垂直的判定定理，可得AD⊥平面OPE，再由線面垂直的性質即可得到AD⊥PE；
（2）PA的中點M，連接ME，MO，根據三角形中線定理，我們可得OM∥PD，又由OE∥DC，結合面面平行的判定定理，可得平面OEM∥平面PDC，進而由面面平行的性質，得到結論．

解答：解：（1）如圖，取AD的中點O，連接OP，OE
∵PA=PD，∴OP⊥AD，
又E是BC的中點，∴OE∥AB，∴OE⊥AD，
又OP∩OE=O，∴AD⊥平面OPE，而PE?平面OPE，
∴AD⊥PE．  
（2）存在點M，取PA的中點M，
連接ME，MO，易知：OM∥PD，又由OE∥DC，
知：平面OEM∥平面PDC．
故在PA上是否存在點M（M為PA的中點），使ME∥平面PDC．

點評：本題考查的知識瞇是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定與性質，熟練掌握空間直線與平面平行、垂直的判定定理，性質定理，定義及相互的轉化，是解答此類問題的關鍵．