Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q為AD的中點．
（1）求證：PA∥平面MDB；
（2）求證：AD⊥平面PQB；
（3）若平面PAD⊥平面ABCD，且M為PC的中點，求四棱錐M-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）根據三角形的中位線平行于底邊，由PA∥OM，線線平行證明線面平行；
（2）因為Q為中點，等腰三角形的中線即高，利用線面垂直的判定定理證明AD⊥平面PQB；
（3）利用MH=

1

2

PQ求棱錐的高MH，根據底面S_菱形ABCD=2S_△ABD求底面面積，代入棱錐的體積公式求得．

解答：解：（1）連接AC，設與BD交于點O，則O為AC的中點，連接OM，
∵OM是△PAC的中位線，∴PA∥OM，
又∵PA?平面MBD，OM?平面MBD，∴PA∥平面MBD．
（2）∵PA=PD，Q為中點，∴AD⊥PQ，
連接DB，在△ADB中，AD=AB，∠BAD=

π

3

，∴△ABD為等邊三角形，Q為AD的中點，
∴AD⊥BQ，又PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PQB．
（3）連接QC，作MH⊥QC于H．
∵PQ⊥AD，PQ?平面PAD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
平面PAD⊥平面ABCD，∴PQ⊥平面ABCD，
QC?平面ABCD，∴PQ⊥QC，又MH、PQ共面，∴PQ∥MH，
∴MH⊥平面ABCD，
又PM=

1

2

，∴MH=

1

2

PQ=

1

2

×

3

2

×2=

3

2

．
在菱形ABCD中，BD=2，
S_△ABD=

1

2

×AB×AD×sin

π

3

=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

，
∴S_菱形ABCD=2S_△ABD=2

3

．
∴V_M-ABCD=

1

3

×S_菱形ABCD×MH=

1

3

×2

3

×

3

2

=1．

點評：本題考查了線面平行的判定、線面垂直的判斷，考查了面面垂直的性質及棱錐的體積計算，考查學生的空間想象能力，邏輯推理能力．