Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°．
（1）證明AD⊥PB；
（2）求二面角P-BD-A的正切值大小．

Answer 1

分析：（1）通過已知PA=2，PD=2

2

得到勾股定理，根據(jù)線面垂直即可證明線線垂直．
（2）通過把二面角轉(zhuǎn)化為其平面角PEH，然后在RT△PHE中，求出其正切值即可．

解答：（1）證明：在△PAD中，
由題設(shè)PA=2，PD=2

2

可得PA²+AD²=PD²，于是AD⊥PA．
在矩形ABCD中，AD⊥AB．
又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB．
PB?面PAB，所以AD⊥PB
（2）解：過點(diǎn)P做PH⊥AB于H，
過點(diǎn)H做HE⊥BD于E，連接PE
因?yàn)锳D⊥平面PAB，PH?平面PAB，
所以AD⊥PH．
又AD∩AB=A，
因而PH⊥平面ABCD，故HE為PE在平面ABCD內(nèi)的射影．所以，BD⊥PE，
從而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角．
由題設(shè)可得，PH=PA•sin60°=

3

，AH=PA•cos60°=1，BH=AB-AH=2，BD=

AB2+AD2

=

13

，HE=

AD

BD

•BH=

4

13

，
于是在RT△PHE中，tanPEH=

39

4

，
所以二面角P-BD-A的正切值大小為

39

4

．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直的判定，以及二面角的證明，通過對四棱錐的考查，以及直角三角形的考查，得到要求的結(jié)果，屬于中檔題．