Question

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PD、PC、BC的中點．
（I）求證：PA∥平面EFG；
（II）求平面EFG⊥平面PAD；
（III）若M是線段CD上一點，求三棱錐M-EFG的體積．

Answer 1

分析：（I）取AD的中點H，連接EH，HG，可以證明E，F，G，H四點共面，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；
（II）由題意AD⊥CD，PD⊥CD，可得CD⊥平面PAD，因為EF∥CD，證明EF⊥平面PAD，從而求解．
（III）CD∥EF，所以CD∥平面EFG，故CD上的點M到平面EFG的距離等于D到平面EFG的距離，利用公式V_M-EFG=V_D-EFG，進行求解．

解答：解：（I）證明：取AD的中點H，連接EH，HG．
∵H，G為AD，BC的中點，∴HG∥CD，
又EF∥CD．∴EF∥HG，
∴E，F，G，H四點共面，（2分）
又∵PA∥EH，EH?平面EFGH，PA?平面EFGH，
∴PA∥平面EFG．（4分）
（II）證明：∵AD⊥CD，PD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD，（6分）
∵EF∥CD，∴EF⊥平面PAD，
∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD；（8分）
（III）解：∵CD∥EF，∴CD∥平面EFG，
故CD上的點M到平面EFG的距離
等于D到平面EFG的距離，∴V_M-EFG=V_D-EFG，（10分）
S△EFG=

1

2

×EF×EH=2，平面EFGH⊥平面PBD于EH，
∴D到平面EFG的距離即三角形EHD的高，等于

3

∴VM-EFG=

2 3

3

．（12分）

點評：此題考查直線與平面平行的判斷及平面與平面垂直的判斷，此類問題一般先證明兩個面平行，再證直線和面平行，這種做題思想要記住，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，同學們要課下要多練習．