Question

（本題滿分16分） 已知橢圓：的離心率為，分別為橢圓的左、右焦點，若橢圓的焦距為2．

 ⑴求橢圓的方程；

⑵設為橢圓上任意一點，以為圓心，為半徑作圓，當圓與橢圓的右準線有公共點時，求△面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

⑴．⑵ ．

【解析】(1)由離心率和b值，不難求出a,從而方程易求。

(2)在（1）的基礎上，可知由于圓與有公共點，所以到 的距離小于或等于圓的半徑．因為，所以，

即 ．然后再借助橢圓方程，消y₀轉化為求解即可。

解：⑴因為，且，所以．……………………………………2分

所以．………………………………………………………………………………4分

所以橢圓的方程為．……………………………………………………6分

⑵設點的坐標為，則．

因為，，所以直線的方程為．………………………………8分

由于圓與有公共點，所以到 的距離小于或等于圓的半徑．

因為，所以，………………10分

即 ．

又因為，所以．…………………………12分

解得，又，∴．……………………………………14分

當時，，所以 ．…………16分