Question

本題滿分16分）兩個數列{a_n}，{b_n}，滿足bn=

a1+2a2+3a3+…+nan

1+2+3+…+n

．★（參考公式1+22+32+…+n2=

n(n+1)(2n+1)

6

）
求證：{b_n}為等差數列的充要條件是{a_n}為等差數列．

Answer 1

分析：由條件可得

n+2

2

b_n+1-

n

2

b_n=a_n+1 ，

n+1

2

b_n-

n-1

2

b_n-1=a_n，相減可得 a_n+1 -a_n═

n+1

2

（b_n+1-b_n ）+

1

2

（b_n+1-b_n ）-

n-1

2

（b_n-b_n-1），由于{b_n}為等差數列的充要條件是 b_n+1-b_n=b_n-b_n-1=常數d，此時a_n+1 -a_n=

n+1

2

d+

1

2

d-

n-1

2

d=

3

2

d，是個常數，從而結論成立．

解答：證明：∵bn=

a1+2a2+3a3+…+nan

1+2+3+…+n

，∴b_n+1=

a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an

1+2+3+…+n+(n+1)

，
∴

n(n+1)

2

b_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n ①，

(n+1)(n+2)

2

b_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n+（n+1）a_n+1．②
②減去①可得

(n+1)(n+2)

2

b_n+1-

n(n+1)

2

b_n=（n+1）a_n+1．
兩邊同時除以n+1可得

n+2

2

b_n+1-

n

2

b_n=a_n+1 ③，
∴

n+1

2

b_n-

n-1

2

b_n-1=a_n  ④．
③減去④可得 a_n+1 -a_n=（

n+2

2

 b_n+1 -

n+1

2

 b_n ）-（

n

2

 b_n -

n-1

2

b_n-1 ）
=

n

2

b_n+1 +b_n+1 -

n

2

b_n-

1

2

b_n-

n

2

b_n+

n

2

 b_n-1-

1

2

b_n-1 
=

n

2

（b_n+1-b_n ）+

1

2

（b_n+1-b_n ）+

1

2

 （b_n-b_n-1）-

n

2

（b_n-b_n-1）
=

n+1

2

（b_n+1-b_n ）+

1

2

（b_n+1-b_n ）-

n-1

2

（b_n-b_n-1）．
由于{b_n}為等差數列的充要條件是 b_n+1-b_n=b_n-b_n-1=常數d，
此時a_n+1 -a_n=

n+1

2

d+

1

2

d-

n-1

2

d=

3

2

d，是個常數．
故：{b_n}為等差數列的充要條件是{a_n}為等差數列．

點評：本題主要考查用分析法和綜合法證明數學命題，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．