Question

本題滿分16分）兩個數列{a_n}，{b_n}，滿足．★（參考公式）
求證：{b_n}為等差數列的充要條件是{a_n}為等差數列．

Answer 1

【答案】分析：由條件可得 b_n+1-b_n=a_n+1 ，b_n-b_n-1=a_n，相減可得 a_n+1 -a_n═（b_n+1-b_n ）+（b_n+1-b_n ）-（b_n-b_n-1），由于{b_n}為等差數列的充要條件是 b_n+1-b_n=b_n-b_n-1=常數d，此時a_n+1 -a_n=d+-=，是個常數，從而結論成立．
解答：證明：∵，∴b_n+1=，
∴b_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n ①，
b_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n+（n+1）a_n+1．②
②減去①可得 b_n+1-b_n=（n+1）a_n+1．
兩邊同時除以n+1可得 b_n+1-b_n=a_n+1 ③，
∴b_n-b_n-1=a_n  ④．
③減去④可得 a_n+1 -a_n=（  b_n+1 - b_n ）-（ b_n -b_n-1 ）
=b_n+1 +b_n+1 -b_n-b_n-b_n+ b_n-1-b_n-1 
=（b_n+1-b_n ）+（b_n+1-b_n ）+ （b_n-b_n-1）-（b_n-b_n-1）
=（b_n+1-b_n ）+（b_n+1-b_n ）-（b_n-b_n-1）．
由于{b_n}為等差數列的充要條件是 b_n+1-b_n=b_n-b_n-1=常數d，
此時a_n+1 -a_n=d+-=，是個常數．
故：{b_n}為等差數列的充要條件是{a_n}為等差數列．
點評：本題主要考查用分析法和綜合法證明數學命題，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．