Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，an=

sn

n

+2(n-1)（n=1，2，3…）
（1）求證數列{a_n}為等差數列，并分別寫出a_n和s_n關于n表達式
（2）設數列{

1

anan+1

}的前n項和為T_n，求T_n
（3）是否存在自然數n值得s1+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

-(n-1)2=2009？若存在，求出n值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據Sn與an的固有關系an=

s1    n=1 sn-sn-1    n≥2

進行求出 a_n-a_n-1=4，從而可證數列{a_n}為等差數列，a_n和s_n關于n表達式亦可求．
（2）

1

anan+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)應用裂項求和法即可．
（3）由

sn

n

=2n-1，計算s1+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

-(n-1)2=2009，解關于n的方程．

解答：解：（1）由 an=

sn

n

+2(n-1)
得s_n=na_n-2n（n-1）
當n≥2時a_n=s_n-s_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1）
得 a_n-a_n-1=4（n=2，3，4…）
故{a_n}是的a₁=1為首項，4為公差的等差數列a_n=4n-3，s_n=2n²-n
（2）Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

1×5

+

1

5×9

+…+

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

[(

1

1

-

1

5

)+(

1

5

-

1

9

)+(

1

9

-

1

13

)+…+(

1

4n-3

-

1

an+1

)]
=

1

4

(1-

1

4n+1

)
（3）由

sn

n

=2n-1
∴s1+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

-(n-1)2=1+3+5+7+…+（2n-1）-（n-1）²=n²-（n-1）²=2n-1
令2n-1=2009
得n=1005
所以有在滿足條件的自然數n=1005

點評：本題考查等差數列的判定、通項公式、求和．考查了裂項求和法、轉化計算能力．