Question

不等式組

x≥0 y≥0 nx+y≤4n

所表示的平面區域為D_n，若D_n內的整點（整點即橫坐標和縱坐標均為整數的點）個數為a_n（n∈N^*）
（1）寫出a_n+1與a_n的關系（只需給出結果，不需要過程），
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設數列a_n的前n項和為S_n且Tn=

Sn

5•2n

，若對一切的正整數n，總有T_n≤m成立，求m的范圍．

Answer 1

分析：（1）不等式組所表示的平面區域D_n的整點個數歸納可得a_n+1-a_n=10；
（2）根據{a_n}是首項為15，公差為10的等差數列，從而求出數列{a_n}的通項公式；
（3）求出數列{a_n}的前n項和S_n，則Tn=

Sn

5•2n

=

n(n+2)

2n

，然后T_n+1-T_n的符號可得T₂=2是最大值，從而求出m的取值范圍．

解答：解：（1）不等式組

x≥0 y≥0 nx+y≤4n

（n∈N^*）所表示的平面區域D_n的整點個數
∴a_n+1-a_n=10即{a_n}為等差數列
（2）∵{a_n}是首項為15，公差為10的等差數列
∴a_n=15+（n-1）×10=10n+5
（3）S_n=

15+10n+5

2

×n=5n²+10n
∴Tn=

Sn

5•2n

=

n(n+2)

2n

∴T_n+1-T_n=

(n+1)(n+3)

2n+1

-

n(n+2)

2n

=

3-n2

2n+1

當n≥2時，T_n+1-T_n＜0
即T_n≤T₂=2≤m
∴m的取值范圍為m≥2．

點評：本題主要考查了數列與不等式的綜合，以及等差數列的求和，同時考查了數列的最值，屬于中檔題．