Question

設數列a_n的前n項的和為S_n，a1=

3

2

，Sn=2an+1-3．
（1）求a₂，a₃；
（2）求數列a_n的通項公式；
（3）設bn=(2log

3

2

an+1)•an，求數列b_n的前n項的和T_n．

Answer 1

分析：（1）直接把條件轉化為用a₂，a₃表示的形式即可求a₂，a₃；
（2）直接利用當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1找到遞推關系，進而求出通項公式；
（3）先利用（2）的結論把數列{b_n}的通項公式表示出來，再利用錯位相減法對其求前n項的和T_n即可．

解答：解（1）∵a1=

3

2

，Sn=2an+1-3
∴S₁=2a₂-3
∴a2=

a1+3

2

=

9

4

（1分）
同理S₂=2a₃-3
∴a3=

a1+a2+3

2

=

27

8

．（2分）
（2）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+1-3-（2a_n-3）
即an+1=

3

2

an．（4分）
由（1）顯然a2=

3

2

a1（5分）
∴a_n是以a1=

3

2

為首項

3

2

為公比的等比數列
∴an=(

3

2

)n（6分）
（3）由（2）知bn=(2log

3

2

an+1)•an=[2log

3

2

(

3

2

)n+1]•(

3

2

)n=(2n+1)•(

3

2

)n..（7分）Tn=3•(

3

2

)1+5•(

3

2

)2+7•(

3

2

)3++(2n-1)•(

3

2

)n-1+(2n+1)•(

3

2

)n①

3

2

Tn=3•(

3

2

)2+5•(

3

2

)3+7•(

3

2

)4++(2n-1)•(

3

2

)n+(2n+1)•(

3

2

)n+1②（8分）

①-②得

- 1 2 Tn= 9 2 +2•( 3 2 )2+2•( 3 2 )3++2•( 3 2 )n-1-(2n+1)•( 3 2 )n+1 = 9 2 +2[( 3 2 )2+( 3 2 )3++( 3 2 )n-1]-(2n+1)•( 3 2 )n+1= 9 2 +2× 9 4 [1-( 3 2 )n-1] 1- 3 2 -(2n+1)•( 3 2 )n+1 =( 9 2 -3n)•( 3 2 )n- 9 2 (11分)

∴Tn=(6n-9)•(

3

2

)n+9（12分）

點評：本題主要考查已知前n項和為S_n求數列{a_n}的通項公式以及數列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．