Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+

1

2

sinθx²-2x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，

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6

)，且在區(qū)間（-2，1）上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）證明sinθ=1；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若對(duì)于任意的x₁，x₂∈[m，m+3]（m≥0），不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤

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恒成立，試問(wèn)：這樣的m是否存在，若存在，請(qǐng)求出m的范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，1）上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增得到f′（1）=0且f′（-2）≤0，代入導(dǎo)函數(shù)分別得到兩個(gè)關(guān)系式記作①和②，由①求出a等于一個(gè)關(guān)系式，把這個(gè)關(guān)系式代入②得到sinθ大于等于1，根據(jù)正弦函數(shù)的值域得到sinθ等于1；
（2）將sinθ的值代入①即可求出a的值，把a(bǔ)的值代入到f（x）中，又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，

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6

)，即f（1）=

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6

，代入即可求出c的值，即可得到f（x）的解析式；
（3）把a(bǔ)和sinθ的值代入導(dǎo)函數(shù)中確定出導(dǎo)函數(shù)的解析式，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后分m大于1和m大于等于0小于等于1時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分別求出函數(shù)的最小值和最大值，利用最大值和最小值得到|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，|f（x₁）-f（x₂）|的最大值小于等于

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2

列出關(guān)于m的范圍即可求出滿(mǎn)足題意的m的范圍．

解答：解：（1）∵f'（x）=3ax²+（sinθ）x-2
由題設(shè)可知

f′(1)=0 f′(-2)≤0

即

3a+sinθ-2=0 ① 12a-2sinθ-2≤0②

由①得：a=

2-sinθ

3

，代入②得：12×

2-sinθ

3

-2sinθ-2≤0，
化簡(jiǎn)得：sinθ≥1，
∴sinθ=1；

（2）將sinθ=1代入①式得：a=

1

3

，則f（x）=

1

3

x³+

1

2

x²-2x+c，
而又由f（1）=

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6

，代入得c=

22

3

，
∴f（x）=

1

3

x³+

1

2

x²-2x+

22

3

即為所求；

（3）f′（x）=x²+x-2=（x+2）（x-1）
易知f（x）在（-∞，-2）及（1，+∞）上均為增函數(shù)，在（-2，1）上為減函數(shù)．
（i）當(dāng)m＞1時(shí)，f（x）在[m，m+3]上遞增．故f（x）max=f（m+3），f（x）min=f（m）
由f（m+3）-f（m）=

1

3

（m+3）³+

1

2

（m+3）²-2（m+3）-

1

3

m³-

1

2

m²+2m
=3m2+12m+

15

2

≤

45

2

，得-5≤m≤1．這與條件矛盾故舍去；
（ii）當(dāng)0≤m≤1時(shí)，f（x）在[m，1]上遞減，在[1，m+3]上遞增，
∴f（x）min=f（1），f（x）max={f（m），f（m+3）}max，
又f（m+3）-f（m）=3m²+12m+

15

2

=3（m+2）²-

9

2

＞0（0≤m≤1）
∴f（x）max=f（m+3）
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）max-f（x）min=f（m+3）-f（1）≤f（4）-f（1）=

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2

恒成立，
故當(dāng)0≤m≤1原式恒成立．
綜上：存在m且m∈[0，1]合乎題意．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，掌握正弦函數(shù)的值域及會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，是一道綜合題．