Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率。它有一個頂點恰好是拋物線=4y的焦點。過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且。
（Ⅰ）求動點C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左右頂點分別為A，B，直線AC（C點不同于A，B）與直線交于點R，D為線段RB的中點。試判斷直線CD與曲線E的位置關系，并證明你的結論。

Answer 1

（Ⅰ）動點的軌跡的方程為；（Ⅱ）直線與圓相切．

試題分析：（Ⅰ）求動點C的軌跡E的方程，由題意首先求出橢圓的方程為，設，，由已知，找出與之間的關系，利用點在橢圓上，代入即可求出動點C的軌跡E的方程；（Ⅱ）判斷直線CD與曲線E的位置關系，由（Ⅰ）動點的軌跡的方程為，主要看圓心到直線距離與半徑之間的關系，因此，主要找直線的方程，設，則，由題意三點共線，得 ∥，設點的坐標為，利用共線，求出，得點的坐標為，從而得點的坐標為，這樣寫出直線的方程，利用點到直線位置關系，從而可判斷直線CD與曲線E的位置關系．
試題解析：（Ⅰ）設橢圓C的方程為，則由題意知b = 1，，
∴，，所以橢圓的方程為。（2分）
設，，由題意得，即
又，代入得，即。
即動點的軌跡的方程為。（6分）
（Ⅱ）設，點的坐標為，
∵三點共線，∴ ∥，
而，，則，∴，
∴點的坐標為，點的坐標為，
∴直線的斜率為，（9分）
而，∴，∴，
∴直線的方程為，化簡得，
∴圓心到直線的距離，
所以直線與圓相切。（13分）