Question

18.如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC.

    (Ⅰ)求證：OD∥平面PAB；

    (Ⅱ)求直線OD與平面PBC所成角的大小.

Answer 1

(18)本題主要考查空間線面關系，空間向量的概念與運算等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力。

解：方法一：

（Ⅰ）∵O、D分別為AC、PC的中點。

∴OD∥PA.

又PA平面PAB。

∴OD∥平面PAB。

（Ⅱ）∵AB⊥BC，OA＝OC

∴OA＝OB＝OC，

又∵OP⊥平面ABC。

∴PA＝PB＝PC。

取BC中點E，連結PE，則BC⊥平面POE。

作OF⊥PE于F，連結DF，則OF⊥平面PBC，

∴∠ODF是OD與平PBC所成的角。

在Rt△ODF中，

sin∠ODF=,

∴OD與平面PBC所成的角為arcsin.

方法二：

∵OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC，

∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP。

以O為原點，射線OP為非負x軸，建立空間直角坐標系O－xyz（如圖）。

設AB＝a，則A（a,0,0）B(0, a,0),C(－a,0,0).

設OP＝h，則P（0，0，h）

(Ⅰ)∵D為PC的中點，

∴＝（－a,0,h）,

又＝（a,0,-h）,

∴ ＝－

∴∥

∴OD∥平面PAB。

（Ⅱ）∵PA＝2a,

∴h=a,

∴=(-a,0, a),

可求得平面PBC的法向量＝（－1，1，），

設OD與平面PBC所成的角為θ

∴OD與平面PBC所成的角為arcsin.