Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=5，PB=4，PC=3．設點M為底面ABC內一點，定義f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分別為三棱錐M-PAB、M-PBC、M-PCA的體積．若f（M）=（4，3x，3y），且ax-8xy+y≥0恒成立，則正實數a的取值范圍是

[9，+∞）

．

Answer 1

分析：先根據三棱錐的特點求出其體積，然后利用新定義通過體積，推出建立x與y的關系，進而將恒成立問題轉化成最值問題后，解之即可．

解答：解：∵PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=5，PB=4，PC=3．
∴V _P-ABC=

1

3

×

1

2

×3×4×5=10=4+3x+3y
即x+y=2，且x，y為正數
若ax-8xy+y≥0恒成立，
則2（

1

x

+

a

y

）≥16恒成立
又∵（

1

x

+

a

y

）（x+y）=1+a+

y

x

+

ax

y

≥1+a+2

a

∴1+a+2

a

≥16
∴

a

≥3或

a

≤-5（舍去）
即a≥9
則正實數a的取值范圍是[9，+∞）
故答案為：[9，+∞）

點評：本題主要考查了棱錐的體積，同時考查了基本不等式的運用，是題意新穎的一道題目，屬于中檔題．