Question

（2012•莆田模擬）如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAC，△ABC分別是以A、B為直角頂點的等腰直角三角形，AB=1．
（1）現給出三個條件：①PB=

3

；②PB⊥BC；③平面PAB⊥平面ABC．試從中任意選取一個作為已知條件，并證明：PA⊥平面ABC；
（2）在（1）的條件下，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）選取條件：①PB=

3

，證明∠PAB=90°，根據PA⊥AC，可證PA⊥平面ABC；
（2）利用VP-ABC=

1

3

PA×S△ABC，即可得到結論．

解答：解：（1）選取條件：①PB=

3

，證明如下：
在等腰直角△ABC中，∵AB=1，∴BC=1，AC=

2

∵PA=AC，∴PA=

2

在△PAB中，AB=1，PA=

2

，PB=

3

∴AB²+PA²=PB²
∴∠PAB=90°
∴PA⊥AC
∵AB∩AC=A，PA⊥AB
∴PA⊥平面ABC；
（2）由（1）知，PA⊥平面ABC
∴VP-ABC=

1

3

PA×S△ABC=

1

3

×

2

×

1

2

×12=

2

6

．

點評：本題主要考查空間直線與直線，直線與平面的位置關系，考查三棱錐的體積，考查空間想象能力，屬于中檔題．