Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，離心率為，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線的最小距離為2，延長(zhǎng)至使得，線段上存在異于的點(diǎn)滿足.

（1）  求橢圓的方程；
（2）  求點(diǎn)的軌跡的方程；
（3）  求證：過(guò)直線上任意一點(diǎn)必可以作兩條直線
與的軌跡相切，并且過(guò)兩切點(diǎn)的直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

（1）；（2）；（3）直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1,0）.

本試題主要考查了圓與直線，以及橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。
解：（1）依題意得，   ………………………………………………2分
解得，∴ ……………………………………………………………3分
橢圓的方程為  …………………………………………………………………4分
（2）解法1：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x,y).
當(dāng)重合時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為和點(diǎn)，    …………………………………5分
當(dāng)不重合時(shí)，由，得. ……………………………6分
由及橢圓的定義，， …………7分
所以為線段的垂直平分線，T為線段的中點(diǎn)
在中，， …………………………………………8分
所以有.
綜上所述，點(diǎn)的軌跡C的方程是.   …………………………………9分
（3）  直線與相離，
過(guò)直線上任意一點(diǎn)可作圓的兩條切線   …………10分
所以
所以O(shè),E,M,F四點(diǎn)都在以O(shè)M為直徑的圓上，  …………………………11分
其方程④      …………………………12分
EF為兩圓的公共弦，③-④得：EF的方程為4X+ty -4=0      ………13分
顯然無(wú)論t為何值，直線ef經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(1,0).          ………………14分