Question

已知直線：(kR)與圓C:相交于點(diǎn)A、B, M為弦AB中點(diǎn)．
(Ⅰ) 當(dāng)k=1時，求弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)及AB弦長；
（Ⅱ）求證：直線與圓C總有兩個交點(diǎn);
（Ⅲ）當(dāng)k變化時求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

（1）；（2）見解析；（3）．

（1）先直線方程與圓的方程聯(lián)立，求交點(diǎn)坐標(biāo)，再求弦長問題、中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）直線過定點(diǎn)，其在圓內(nèi)；3（）利用直線斜率乘積為-1，求軌跡方程.
解 :（Ⅰ）當(dāng)k=1時，由得   
設(shè)，，則
．∴．  
（Ⅱ）直線：（）過定點(diǎn)且P在圓內(nèi)∴直線與圓總有兩個交點(diǎn)
（Ⅲ）∵，直線：（）過定點(diǎn)
∴點(diǎn)M在以O(shè)P為直經(jīng)的圓周上．∴設(shè)
∵            
∴點(diǎn)M的軌跡方程．