Question

已知圓C：(x－1)²＋(y－2)²＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)證明：直線l與圓相交；
(2)求直線l被圓截得的弦長最小時的直線l的方程．

Answer 1

2x－y－5＝0.

（1）按直線系；（2）由線線垂直，先求斜率，再用點斜式.
解：(1)證明：直線l的方程可化為(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0．
∴ 直線l恒過定點A(3，1)．             (5分)
∵(3－1)²＋(1－2)²＝5＜25，
∴點A是圓C內部一定點，從而直線l與圓始終有兩個公共點,
即直線與圓相交.                                                 (8分)
(2)圓心為C(1，2)，要使截得的弦長最短，當且僅當l⊥AC．
而C(1，2)，A(3，1)，所以
進而, 直線l的方程為y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.              (12分)