Question

如圖，在正三棱錐P-ABC中，點O為底面中心，點E在PA上，且AE=2EP
（1）求證：OE∥平面PBC
（2）若OE⊥PA，AB=3，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）證明：連接Ao延長交BC于M，連接PM，O是三角形的重心，可知AO=2OM，又AE=2EP，由三角形中位線可知OE∥PM，最后由線面平行的判定定理證明．
（2）如圖：易證BC⊥平面PAM，所以三棱錐的體積轉化為：三棱錐B-PAM和三棱錐C-PAM體積之和．

解答：解：（1）證明：連接Ao延長交BC于M，連接PM，O是三角形的重心，
∴AO=2OM，又AE=2EP
∴OE∥PM
∴OE∥平面PBC
（2）由（1）知OE∥PM，OE⊥PA
∴PM⊥PA
在正三棱錐P-ABC中，M為中點
∴AM⊥BC
∴VP-ABC=

1

3

 sPAM•BC=

9 2

8

點評：本題主要考查了立體幾何中線面之間的位置關系及判定定理，還考查了在體積求解中的轉化思想和害補法思想，屬中檔題