Question

如圖，在正三棱錐P-ABC中，M、N分別是側(cè)棱PB、PC的中點(diǎn)，若截面AMN⊥側(cè)面PBC，底面邊長(zhǎng)為2，則此三棱錐的體積是（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  5

  3

• C、

  5

• D、

  15

  3

Answer 1

分析：設(shè)D為BC的中點(diǎn)，連接PD，交MN于E，連接AE，利用平面AMN⊥平面PBC的性質(zhì)，可證AE⊥PD，通過(guò)證三角形全等的方法，求得側(cè)棱長(zhǎng)為

3

，再利用三棱錐的換底性求體積．

解答：解：設(shè)D為BC中點(diǎn)，連接PD，交MN于E，連接AE，則 PD⊥BC，PD⊥MN，
又平面AMN⊥平面PBC，平面AMN∩平面PBC=MN，∴PD⊥AE，
又BC⊥AD，BC⊥PD，PD∩AD=D，∴BC⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴BC⊥AE
∴AE⊥平面PBC，
則 PE⊥面AMN，PE⊥AE．設(shè)底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為a，
∵M(jìn)、N分別是側(cè)棱PB、PC的中點(diǎn)，∴E為PD的中點(diǎn)，
∴△ADE與△APE全等，∴PA=AD=

3

，
PE=

1

2

PD=

1

2

3-1

=

2

2

，AE=

3- 1 2

=

10

2

∴V_P-ABC=V_A-PBC=

1

3

×S_△PBC×AE=

1

3

×

1

2

×2×

2

×

10

2

=

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了面面垂直的性質(zhì)，正棱錐的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用三角形全等求側(cè)棱長(zhǎng)．