Question

如圖，在正三棱錐P-ABC中，M，N分別是側棱PB、PC上的點，若PM：MB=CN：NP=2：1，且平面AMN⊥平面PBC，則二面角A-BC-P的平面角的余弦值為（　　）

• A．

  2 2

  3

• B．

  6

  3

• C．

  7

  4

• D．

  15

  9

Answer 1

分析：如圖所示，過點P作PO⊥平面ABC，垂足為點O，則點O為正三角形ABC的中心，以點O為坐標原點，AO、OP所在直線分別為y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系．
不妨設AB=6，OP=3a．則A(0，-2

3

，0)，B（3，

3

，0），C(-3，

3

，0)，P（0，0，3a）．設平面AMN的法向量為

m

=（x，y，z），則

m • AM =0 m • AN =0

，即可解得

m

．同理可得平面PBC的法向量

n

．利用平面AMN⊥平面PBC，可得

m

•

n

=0，解得a．取平面ABC的法向量為

u

=（0，0，1）．利用cos＜

n

，

u

＞=

n • u

| n | | u |

即可得出．

解答：解：如圖所示，過點P作PO⊥平面ABC，垂足為點O，則點O為正三角形ABC的中心，以點O為坐標原點，AO、OP所在直線分別為y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系．
不妨設AB=6，OP=3a．則A(0，-2

3

，0)，B（3，

3

，0），C(-3，

3

，0)，P（0，0，3a）．

PB

=(3，

3

，-3a)，

PC

=(-3，

3

，-3a).

CB

=（6，0，0）．
∵

PM

=

2

3

PB

=(2，

2 3

3

，-2x)，

PN

=

1

3

PC

=(-1，

3

3

，-a)．
∴

OM

=(2，

2 3

3

，a)，

ON

=(-1，

3

3

，2a)．
∴

AM

=(2，

8 3

3

，a)，

AN

=(-1，

7 3

3

，2a)．
設平面AMN的法向量為

m

=（x，y，z），則

m • AM =2x+ 8 3 3 y+az=0 m • AN =-x+ 7 3 3 y+2az=0

，
取y=

3

，解得x=-

9

5

，z=-

22

5a

，可得

m

=(-

9

5

，

3

，-

22

5a

)．
同理可得平面PBC的法向量

n

=(0，

3

，

1

a

)．
∵平面AMN⊥平面PBC，∴

m

•

n

=3-

22

5a2

=0，解得a2=

22

15

．
取平面ABC的法向量為

u

=（0，0，1）．
則cos＜

n

，

u

＞=

n • u

| n | | u |

=

1 a

3+ 1 a2

=

1

3a2+1

=

1

3× 22 15 +1

=

15

9

．
故選D．

點評：本題考查了通過建立空間直角坐標系、利用平面的法向量的夾角解決空間角問題，屬于難題．