Question

【題目】如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，，是邊長為2的正三角形，平面⊥平面，為的中點，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點為，連接，可證為平行四邊形，從而得到，據此可證平面.

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的法向量后可求線面角的正弦值.

（1）如圖，取的中點為，連接.

因為，故.

因為，故.

所以，故四邊形為平行四邊形，

所以，又平面，平面，所以平面.

（2）連接，則.

在菱形中，因為，故，

在中，由余弦定理可得，故，

所以，故.

因為平面⊥平面，平面平面，平面，

所以平面，因平面，所以.

如圖，建立空間直角坐標系，則，

所以，故，.

設平面的法向量為，

則，故，令，則，

所以，又，

所以.

設與平面所成角為，則.