Question

【題目】如圖，在平行六面體，，，為矩形．

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

由為矩形，得,由，，可得，可得，從而得到平面,從而得證.

以點為原點，以為軸，，過點作與面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，不妨設，，則，設，由，，，求出點坐標，從而應用向量法求解線面角.

解：（1）在中，，，

由余弦定理有，可得.

所以有，即，則．

由為矩形，得，由，得平面，

，則平面，又，
故平面平面．

（2）如圖，由（1），分別以為軸，以點為原點，

過點作與面垂直的直線為軸建立空間直角坐標系，如圖.

不妨設，，則，

設，由，，，

，解得，取，

，，

設平面的法向量為

則，即，可以取

設直線與平面所成的角為，

則