Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+x-3，g（x）=-x+4lnx，h（x）=f（x）-g（x）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)h（x）的極值；
（2）若函數(shù)h（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）定義：對(duì)于函數(shù)F（x）和G（x），若存在直線?：y=kx+b，使得對(duì)于函數(shù)F（x）和G（x）各自定義域內(nèi)的任意x，都有F（x）≥kx+b且G（x）≤kx+b成立，則稱(chēng)直線?：y=kx+b為函數(shù)F（x）和G（x）的“隔離直線”．則當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）和g（x）是否存在“隔離直線”．若存在，求出所有的“隔離直線”；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可以求函數(shù)h（x）的極值；
（2）函數(shù)h（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)為0的方程有兩個(gè)不相等的正數(shù)解，利用韋達(dá)定理可解；
（3）利用新定義，先確定“隔離直線”，再進(jìn)行證明即可．

解答：解：（1）a=1時(shí)，f（x）=x²+x-3，h（x）=x²+2x-3-4lnx，h（x）的定義域是（0，+∞），h′(x)=2x+2-

4

x

=

2(x+2)(x-1)

x

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增
∴x=1時(shí)，h（x）取得極小值h（1）=0，h（x）無(wú)極大值．…（4分）
（2）h（x）=ax²+2x-4lnx-3，x∈（0，+∞），h′(x)=2ax+2-

4

x

=

2ax2+2x-4

x

依題意，方程2ax²+2x-4=0在（0，+∞）上有兩個(gè)不相等的正數(shù)解．
∴

a≠0 △=4+32a＞0 - 1 a ＞0 - 2 a ＞0

，∴-

1

8

＜a＜0
∴a的取值范圍是（-

1

8

，0）…（9分）
（3）設(shè)存在，a=1時(shí)，f（x）=x²+x-3
由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，h（x）=0，此時(shí)，f（1）=g（1）=-1
∴y=f（x）與y=g（x）的圖象有唯一的交點(diǎn)A（1，-1）
直線?必過(guò)點(diǎn)A，設(shè)?的方程：y+1=k（x-1），即y=kx-k-1
由f（x）≥kx-k-1恒成立得x²+（1-k）x+k-2≥0恒成立
∴△=（1-k）²-4（k-2）=（k-3）²≤0
∴k=3，直線?的方程：y=3x-4…（12分）
以下證明g（x）≤3x-4對(duì)x＞0恒成立
令?(x)=3x-4-g(x)=4x-4-4lnx，?′(x)=4-

4

x

=

4(x-1)

x

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，?′（x）＜0，?（x）遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，?′（x）＞0，?（x）遞增，
∴?（x）的最小值為?（1）=0，∴?（x）≥0恒成立
即g（x）≤3x-4對(duì)x＞0恒成立
綜上，f（x）和g（x）存在唯一的“隔離直線”：y=3x-4…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)新定義的理解．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．