Question

已知向量

a

=（x²-3，1），

b

=（x，-y）（其中實數x和y不同時為零），當|x|＜2時，有

a

⊥

b

，當|x|≥2時，

a

∥

b

．
（I）求函數式y=f（x）；
（II）若對?x∈（-∞，-2}∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）因為當|x|＜2時，

a

⊥

b

得

a

•

b

=0得到y與x的關系式；當|x|≥2時，

a

∥

b

，得到 y與x的另一關系式，聯立得到f（x）為分段函數；
（II）根據mx²+x-3m≥0解出m≥

x

3-x2

，分區間討論x的范圍得到f（x）的最大值，讓m大于等于最大值即可求出m的范圍．

解答：解：（I）當|x|＜2時，由

a

⊥

b

得

a

•

b

=0得（x²-3）x-y=0，y=x³-3x（|x|＜2且x≠0）；
當|x|≥2時，由 

a

∥

b

，得y=-

x

x2-3

，
∴y=f（x）=

x3-3x，(-2＜x＜2且x≠0) - x x2-3 ，(x≥2或x≤-2)

（II）對?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0即m（x²-3）≥-x，
也就是m≥

x

3-x2

對?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）恒成立，
由（2）知當|x|≥2時，f′（x）=

(3-x2)-x(-2x)

(3-x2) 2

=

3+x 2

(3-x2) 2

＞0
∴函數f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都單調遞增
又f（-2）=

-2

3-4

=2，f（2）=-2
當x≤-2時f（x）=

x

3-x2

＞0，
∴當x∈（-∞，-2]時，0＜f（x）≤2同理可得，當x≥2時，有-2≤f（x）＜0，
綜上所述得，對x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴實數m的取值范圍為m≥2．

點評：考查學生利用導數研究函數單調性的能力，學會用數量積判斷兩個向量的垂直關系，理解平行向量及共線向量滿足的條件，熟悉分段函數的解析式，理解函數恒成立時所取的條件．