Question

已知向量

a

=（x²-1，-1），

b

=（x，y），當(dāng)|x|＜

2

時(shí)，有

a

⊥

b

；當(dāng)|x|≥

2

時(shí)，

a

∥

b

．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若對(duì)|x|≥

2

，都有f（x）≤m，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)當(dāng)|x|＜

2

時(shí)，有

a

⊥

b

；當(dāng)|x|≥

2

時(shí)，

a

∥

b

，分別利用相應(yīng)的運(yùn)算，即可求得函數(shù)的解析式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)，確定其小于0，即可得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的值域，可得函數(shù)的最小值，從而可得m的最小值．

解答：解：（1）由題意，當(dāng)|x|＜

2

時(shí)，（x²-1）x-y=0，即y=x³-x；
當(dāng)|x|≥

2

時(shí)，（x²-1）y+x=0，即y=

x

1-x2

∴y=f（x）=

x3-x，|x|＜ 2 x 1-x2 ，|x|≥ 2

；
（2）當(dāng)|x|＜

2

時(shí)，y′=3x²-1＜0，可得-

3

3

＜x＜

3

3

；當(dāng)|x|≥

2

時(shí)，y′=

1+x2

(1-x2)2

＞0恒成立，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-

3

3

，

3

3

)；
（3）由（2）知，當(dāng)x≥

2

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且f（x）∈[-

2

，0）；當(dāng)x≤-

2

時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且f（x）∈（0，

2

]，
∴函數(shù)具有最小值-

2

∴m≥-

2

∴m的最小值-

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查恒成立問(wèn)題，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．