Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），且函數f（x）的圖象關于原點對稱，其圖象在x=3處的切線方程為8x-y-18=0。
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在區間[m，n]，使得函數f（x）的定義域和值域均為[m，n]，且其解析式為f（x）的解析式？若存在，求出這樣一個區間[m，n]；若不存在，則說明理由。

Answer 1

解：（1）的圖象關于原點對稱，
∴恒成立，
即，∴b=d=0，
又得圖象在x=3處的切線方程為8x-y-18=0即，
∴，且，
而，∴，
∴，解得：，
故所求函數的解析式為。
（2）解。得x=0或，
又，
令=0，得x=±1，
且當或時，；
當x∈（-1，1）時，<0，
∴在和上遞增，在[-1，1]上遞減，
∴在上的極大值和極小值分別為，
而，
故存在這樣的區間[m，n]，其中一個區間為。