Question

設函數f（x）=x-In（x+m），其中常數m為整數．
（1）當m為何值時，f（x）≥0；
（2）定理：若函數g（x）在[a，b]上連續，且g（a）與g（b）異號，則至少存在一點x∈（a，b），使g（x）=0．
試用上述定理證明：當整數m＞1時，方程f（x）=0，在[e^-m-m，e^2m-m]內有兩個實根．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出導函數令其為0得到函數的駐點，利用導函數大于得到f（x）為增函數，小于0得到f（x）為減函數，得到函數的極小值，令f（x）的極小值≥0得到m的范圍；
（2）當整數m＞1時，函數f（x）在[e^-m-m，1-m]上為連續減函數，由增減性得到f（e^-m-m）與f（1-m）異號，由所給定理知，存在唯一的x₁∈（e^-m-m，1-m），使f（x₁）=0；函數f（x）在[1-m，e^-m-m]上為連續增函數且f（1-m）與f（e^2m-m）異號，由所給定理知，存在唯一的x₂∈[1-m，e^-m-m，]，使f（x₂）=0，得到當整數m＞1時，方程f（x）=0，在[e^-m-m，e^2m-m]內有兩個實根．
解答：（1）解：函數f（x）=x-ln（x+m），x∈（-m，+∞）連續，且
當x∈（-m，1-m）時，f’（x）＜0，f（x）為減函數，f（x）＞f（1-m）
當x∈（1-m，+∞）時，f’（x）＞0，f（x）為增函數，f（x）＞f（1-m）
根據函數極值判別方法，f（1-m）=1-m為極小值，而且
對x∈（-m，+∞）都有f（x）≥f（1-m）=1-m
故當整數m≤1時，f（x）≥1-m≥0
（2）證明：由（1）知，當整數m＞1時，f（1-m）=1-m＜0，函數f（x）=x-ln（x+m），在[e^-m-m，1-m]上為連續減函數．
f（e^-m-m）=e^-m-m-ln（e^-m-m+m）=e^-m＞0
當整數m＞1時，f（e^-m-m）與f（1-m）異號，
由所給定理知，存在唯一的x₁∈（e^-m-m，1-m），使f（x₁）=0
而當整數m＞1時，

類似地，當整數m＞1時，函數f（x）=x-ln（x+m），在[1-m，e^-m-m]上為連續增函數且f（1-m）與f（e^2m-m）異號，由所給定理知，存在唯一的x₂∈[1-m，e^-m-m，]，使f（x₂）=0
故當m＞1時，方程f（x）=0在[e^-m-m，e^2m-m]內有兩個實根．
點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，利用給出定理證明數學題的能力．