Question

設函數f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為

2

，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=

2

2

，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接運用點到直線的距離公式，然后求解即可得到答案．
（2）關于由不等式解集整數的個數，然后求未知量取值范圍的題目，可利用恒等變換，把它轉化為求函數零點的問題，即可求解．（3）屬于新定義的題目，可以用函數求導數求最值的方法解答．

解答：解：（1）因為f（x）=a²x²，所以f′（x）=2a²x，令f′（x）=2a²x=1
得：x=

1

2a2

，此時y=

1

4a2

，
則點(

1

2a2

，

1

4a2

)到直線x-y-3=0的距離為

2

，
即

2

=

| 1 2a2 - 1 4a2 -3|

2

，解之得a=

1

2

或

5

10

；
（2）不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數恰有3個，
等價于（1-a²）x²-2x+1＞0恰有三個整數解，故1-a²＜0，
令h（x）=（1-a²）x²-2x+1，由h（0）=1＞0且h（1）=-a²＜0（a＞0），
所以函數h（x）=（1-a²）x²-2x+1的一個零點在區間（0，1），
則另一個零點一定在區間（-3，-2），這是因為此時不等式解集中有-2，-2，0恰好三個整數解
故

h(-2)＞0 h(-3)≤0

解之得

4

3

≤a＜

3

2

．
（3）設F(x)=f(x)-g(x)=

1

2

x2-elnx，
則F′(x)=x-

e

x

=

x2-e

x

=

(x- e )(x+ e )

x

．
所以當0＜x＜

e

時，F′（x）＜0；當x＞

e

時，F′（x）＞0．
因此x=

e

時，F（x）取得最小值0，
則f（x）與g（x）的圖象在x=

e

處有公共點(

e

，

e

2

)．
設f（x）與g（x）存在“分界線”，
方程為y-

e

2

=k(x-

e

)，即y=kx+

e

2

-k

e

，
由f(x)≥kx+

e

2

-k

e

在x∈R恒成立，
則x2-2kx-e+2k

e

≥0在x∈R恒成立．
所以△=4k2-4(2k

e

-e)=4k2-8k

e

+4e=4(k-

e

)2≤0成立，
因此k=

e

．
下面證明g(x)≤

e

x-

e

2

(x＞0)恒成立．
設G(x)=elnx-x

e

+

e

2

，則G′(x)=

e

x

-

e

=

e ( e -x)

x

．
所以當0＜x＜

e

時，G′（x）＞0；當x＞

e

時，G′（x）＜0．
因此x=

e

時G（x）取得最大值0，則f(x)≤

e

x-

e

2

(x＞0)成立．
故所求“分界線”方程為：y=

e

x-

e

2

．

點評：此題主要考查點到直線距離公式的應用及利用導函數求閉區間極值問題，題中涉及到新定義的問題，此類型的題目需要仔細分析再求解，綜合性較強，有一定的技巧性，屬于難題．