Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2010|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2010|（x∈R）四位同學(xué)研究得出如下四個命題，其中真命題的有（　　）個
①f（x）是偶函數(shù)；
②f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
③不等式f（x）＜2010×2011的解集為∅；
④關(guān)于實數(shù)a的方程f（a²-3a+2）=f（a-1）有無數(shù)解．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：對于①利用偶函數(shù)的定義可判斷；對于②正確；對于③研究函數(shù)的最小值為2×

2010×2011

2

=2010×2011，故可判斷；對于④由①②可知，a²-3a+2=a-1，∴a=1或a=3，故可得結(jié)論

解答：解：對于①f（-x）=f（x）∴正確；對于②，當(dāng)x在[-1，1]的時候，|x+1|+|x-1|就是x到-1的距離加上x到1的距離，由于x在-1和1之間，所以距離之和正好是2，同樣的，|x+2|+|x-2|正好是4，|x+2011|+|x-2011|正好是4022，即函數(shù)在[-1，1]上是常數(shù)函數(shù)，故②錯誤；對于③，∵當(dāng)x=0時，函數(shù)的最小值為2×

2010×2011

2

=2010×2011，故正確對于④由①②可知，a²-3a+2=a-1，∴a=1或a=3，當(dāng)兩者不相等時，a=2，故④錯，
故選B．

點評：本題主要考查命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)，研究其性質(zhì)．